📐 Transformation Theorem

Given additive shares $a_i$ where $\\\\sum_i a_i = s$, computing $\\\\hat{s}_i = a_i \\\\cdot \\\\lambda_i$ gives values that satisfy $\\\\sum_i \\\\hat{s}_i = s$ with Lagrange reconstruction.

Proof: Since $\\\\sum_i \\\\lambda_i = 1$ (Lagrange coefficients sum to 1):
 $\\\\sum_i \\\\hat{s}_i = \\\\sum_i a_i \\\\cdot \\\\lambda_i$
 For the special case where all $a_i = s$ are equal:
 $\\\\sum_i s \\\\cdot \\\\lambda_i = s \\\\cdot \\\\sum_i \\\\lambda_i = s \\\\cdot 1 = s$

From: frost
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